벡터공간 (작성중)

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상식선의 벡터

물리에서 흔히 언급되듯, 크기와 방향이 있는 것을 벡터라고 한다.

평면에 $A$라는 점과 $B$라는 점이 있을 때, $A$와 $B$를 지나는 직선은 스칼라 $t$를 활용하여 다음과 같이 표현할 수 있을 것이다.

\[x = A + t(\vec{A} - \vec{B})\]

한 직선에 있지 않은$^\text{noncollinear}$ 세 점 $A, B, C$에 대해서도 $A, B, C$를 포함하는 평면은 스칼라 $s, t$를 활용하여 다음과 같이 표현할 수 있을 것이다.

\[x = A + s(\vec{A} - \vec{B}) + t({\vec{A} - \vec{C}})\]

마그마, 반군, 군, 환, 체

마그마의 정의

공집합이 아닌 집합 $M$이 이항 연산 *에 대해 닫혀있을 때, 세트<$M$, *>을 마그마$^\text{magma}$라고 한다.

반군의 정의

결합법칙을 만족하는 마그마<$S$, *>를 반군$^\text{semigroup}$이라고 한다.

군의 정의

반군 $G$가 항등원과 역원이 존재한다면, $G$를 군$^\text{group}$이라고 한다.

\[\forall a \in G, \exists e\in G, e * a = a * e = a\\ \forall a \in G, \exists a' \in G, a * a' = a' * a = e\]

교환법칙이 존재하는 경우, 가환군$^{\text{abelian group}}$이라고 한다.

환의 정의

집합 $R$에 대해 이항연산 *, +에 대해서 다음 성질을 만족할 때, 세트 ($R$, *, +)가 환을 이룬다고 한다.

($R$, +)가 가환군이다.
($R$, *)이 반군이다.
두 연산 모두 분배법칙이 성립한다.

($R$, *) 또한 가환군인 경우, 가환환$^\text{abelian ring}$이라고 한다.

체의 정의

체 ($F$, +, *)란, 덧셈에 대한 항등원 $ 0 \in F $를 제외한 모든 원소가 역원을 갖는 가환환이다.

곱셈에 대한 항등원 1을 단위원$^\text{unity}$라고 한다.
곱셈에 대한 역원이 존재하는 원소를 단원$^\text{unit}$이라고 한다.
0이 아닌 모든 원소가 단원인 환을 상환$^\text{division ring}$이라고 한다.
곱셈에 대해 교환법칙이 성립하는 상환 $R$을 체$^\text{field}$라고 한다.

(Th) 단위원 $1_R$을 지니는 가환환 $R$에서 임의의 원소 $a(\neq 0_R) \in R$에 대하여, $ax = 1_R$을 만족하는 $x \in R$이 존재하는 가환환 $R$은 체이다.

벡터 공간의 정의

체 F에 대해 벡터 공간 V는 두 연산(덧셈과 스칼라곱)으로 구성되고,

체 F에 있는 원소들을 스칼라$^{scalar}$라고 하고, 벡터 공간 V에 있는 원소를 벡터$^{vector}$라고 한다.

moomin